função     Euler- Graceli.

 /   / h ] / 

Série de Fourier no sistema quântico-químico-relativístico Graceli.   / h ] / [  /  ] /c .

Uma partícula em uma dimensão espacial

A função de onda espacial associada a uma partícula em uma dimensão é uma função complexa ${\displaystyle \psi (x)}$ definida no conjunto dos números reais.

Série de Fourier é uma forma de série trigonométrica usada para representar funções infinitas e periódicas complexas dos processos físicos, na forma de funções trigonométricas simples de senos e cossenos.^[1][2] Isto é, simplificando a visualização e manipulação de funções complexas.^[3] Foi criada em 1807 por Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830).^[3]

A forma geral da série é:^[1]

${\displaystyle T(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cdot \cos \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)+b_{n}\cdot \operatorname {sen} \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)\right]}$   /   / h ] / [  /  ] /c 

em que os coeficiente ${\displaystyle a_{0}}$, ${\displaystyle a_{n}}$ e ${\displaystyle b_{n}}$ são números que variam de acordo com a função que será representada, de período fundamental ${\displaystyle 2L}$. Esses coeficientes são as amplitudes de cada onda em série,^[2] que são calculadas com as seguintes fórmulas:^[1]

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{L}}\int _{c}^{c+2L}f(t)\,dt}$, ${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{L}}\int _{c}^{c+2L}f(t)\cos \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)\,dt}$ /   / h ] / [  /  ] /c 

e,  /   / h ] / [  /  ] /c 

A Série de Fourier é importante na técnica de compactação digital, como por exemplo: para reproduzir músicas digitais por streaming, para ver imagens online de rápido carregamento, e no cancelamento de ruído nos fones de ouvido.^[4]

As primeiras quatro somas da séria de Fourier de uma onda quadrada

História

A série surgiu na tentativa de Fourier solucionar um problema físico, que gerou novas fronteiras na matemática.^[3] Durante o estudo da propagação de calor em corpos sólidos. Admitindo que essa propagação deveria se por ondas de calor, levando em consideração que a forma mais simples de uma onda é uma função senoidal.^[3][4] Assim Fourier demonstra através da transformada que qualquer função complexa, pode ser decomposta em uma combinação infinita de senoides,^[4] dividida como uma soma de senos e cossenos.^[2][3]

A ideia de decompor funções arbitrárias em termos de funções trigonométricas simples movimentou grandes nomes da matemática começando por volta de 1750 com L. Euler (1707-1783) e D. Bernoulli (1700-1782), seguindo com J. d'Alembert (1717-1783) e J. L. Lagrange (1736-1813).^[5]

Mais tarde Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) estudou sistematicamente tais séries infinitas, na tentativa de resolver a equação do calor. Em 1811, em sua Théorie mathématique de la chaleur (Teoria matemática de condução do calor), Fourier explicitou os coeficientes de tais séries (que ficaram conhecidos como coeficientes de Fourier, embora Euler já conhecesse o formato dos mesmos) e escreveu as séries de senos e cossenos de várias funções. De um ponto de vista moderno, os resultados de Fourier, embora muito importantes a forma da série que recebeu o seu nome, são informais, em boa parte devido à falta de uma definição concisa de funções e integrais até o início do século XIX.^[6]

P. G. Dirichlet (1805-1859) foi um dos primeiros a reconhecer que nem toda função poderia ser representada por uma série de Fourier (fato que Fourier acreditava), obtendo uma condição suficiente para a validade da representação a partir da série estudada. Em um trabalho de 1829, Dirichlet dá a primeira demonstração rigorosa de que a série de Fourier de uma função f converge, em cada ponto x, para a média aritmética dos limites laterais de f nesse ponto. Nesse trabalho Dirichlet dá origem ao conceito de função como hoje se é conhecido.^[5]

Aparentemente por influência de Dirichlet, G. B. Riemann (1826-1866) se interessou pelo estudo das séries trigonométricas, sendo levado a estudar a integral que leva hoje o seu nome e publicando em 1854 um trabalho intitulado "Sobre a representação de funções por meio de séries trigonométricas".^[5]

Em 1876 du Bois-Reymond (1818-1896) construiu função cuja série de Fourier divergia em um dado ponto, e mais tarde ele mesmo construiu uma função cuja série divergia em um conjunto denso. Exemplos mais simples foram dados por L. Fejér (1880 -1959) em 1909. Vale citar também que em 1861 K. Weierstrass (1815-1897) deu o primeiro exemplo de função contínua sem derivada em ponto algum, sendo tal função definida por uma série trigonométrica que converge uniformemente (portanto uma série de Fourier).^[6]

Não esqueçamos de citar G. Cantor (1845-1918), o qual teve grande influência pelo trabalho de Dirichlet e investigou o problema da unicidade da representação de funções por séries trigonométricas. Tais influências foram decisivas para a definição de números reais como sequência de números racionais e para a criação da Teoria dos Conjuntos, o que mostra o quão importante para o desenvolvimento da fundamentação teórica da matemática foi a teoria das séries de Fourier, podendo esta, então, ser considerada uma das teorias mais importantes da Análise.^[5]

Embora o objetivo inicial de Joseph Fourier fosse resolver a equação do calor, depois que o método foi estudado e encontrado ele foi sendo usado para resolver muitos problemas matemáticos e físicos e, em especial, os que continham equações diferenciais. Esse estudo, conhecido hoje por Série de Fourier, tem aplicação direta nas áreas da engenharia elétrica, análise de vibrações, acústica, óptica, processamento de sinais, processamento de imagens, econometria.^[7] De encontro com esse aspecto está que, durante a elaboração da Série de Fourier, Joseph Fourier não estava focado em entender o calor enquanto entidade física (explicitando que não era o foco dele, mas que na pressão de dar uma explicação ele diria que a condução do calor se daria como radiação) mas para ele o importante era descrever matematicamente o comportamento do calor.^[8]

Funções ortogonais

Um conjunto ortogonal de funções é uma generalização de um conjunto ortogonal de vetores, seja um conjunto ortogonal de vetores um conjunto de vetores perpendiculares entre si. As propriedades de um conjunto ortogonal de funções são derivadas por analogia dos conjuntos ortogonais de vetores.^[9]

Seja V ou um certo V(k) um vetor com n coordenadas definimos a fórmula que relaciona a norma do vetor com cada coordenada como:

${\displaystyle \left\|V\right\|^{2}=\sum _{k=1}^{n}V(k)^{2}}$ ./   / h ] / [  /  ] /c 

Definição 1: A condição para que dois vetores sejam ortogonais é que o produto interno entre ambos seja igual a zero, e o produto interno é definido como:

${\displaystyle (V_{1},V_{2})=\sum _{k=1}^{n}V_{1}(k)V_{2}(k)}$/   / h ] / [  /  ] /c 

Precisamos definir o que é um conjunto ortonormal de vetores, para isto usaremos primeiramente um conjunto de 3 vetores ortogonais. Seja ${\displaystyle V_{n}}$ um conjunto de 3 vetores, ou seja, teremos ${\displaystyle V_{1},V_{2},V_{3}}$ onde cada vetor possui 3 coordenadas. Calculamos as componentes de um vetor que faz parte do conjunto ortonormal de vetores segundo a fórmula:

${\displaystyle \phi _{n}(k)=\left\|V_{n}\right\|^{-1}V_{n}(k)}$ /   / h ] / [  /  ] /c 

em que n representa o vetor e k representa a sua respectiva coordenada. Note que o vetor é unitário e sua direção não mudou, portanto, neste exemplo, o conjunto ortonormal de vetores são os 3 ${\displaystyle \phi _{n}}$ que representam cada vetor ${\displaystyle V_{1},V_{2},V_{3}}$.

Agora veja, podemos definir qualquer vetor, por exemplo ${\displaystyle F}$, do espaço tridimensional como uma combinação linear do conjunto ortonormal, ou seja, o conjunto ortonormal forma uma base do espaço.^[10] Portanto:

${\displaystyle F=c_{1}\phi _{1}(k)+c_{2}\phi _{2}(k)+c_{3}\phi _{3}(k)}$. /   / h ] / [  /  ] /c 

Podemos encontrar o coeficiente ${\displaystyle c_{n}}$, basta usar as propriedades do produto interno:

seja ${\displaystyle (\phi _{m},\phi _{n})=\delta _{mn}}$, onde ${\displaystyle \delta _{mn}}$ é o delta de Kronecker. Portanto:

${\displaystyle C_{n}=(F,\phi _{n})=\sum _{k=1}^{3}F(k)\phi _{n}(k)}$. /   / h ] / [  /  ] /c 

Supondo agora que temos uma função contínua por partes onde ${\displaystyle f(k)}$ representa a ordenada associada à abscissa k, se a função for definida para x dentro de um intervalo, agora não conseguimos mais obter a norma do vetor simplesmente usando a soma trivial, é natural pensar portanto que a soma do quadrado das componentes será feito por integração:

${\displaystyle \left\|f\right\|={\begin{Bmatrix}\int _{a}^{b}f(x)^{2}dx\end{Bmatrix}}^{\frac {1}{2}}}$ /   / h ] / [  /  ] /c 

usando o mesmo princípio definimos o produto interno de duas funções como:

${\displaystyle (f_{1},f_{2})=\int _{a}^{b}f_{1}(x)f_{2}(x)dx}$ /   / h ] / [  /  ] /c 

também podemos definir o conjunto ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}\phi _{n}(x)\end{Bmatrix}}}$. O conjunto ortonormal sobre o intervalo pode ser calculado da mesma forma que em vetores, como segue: ${\displaystyle \phi _{n}(x)=\left\|f_{n}\right\|^{-1}f_{n}(x)}$ /   / h ] / [  /  ] /c 

e o produto interno entre eles também, lembrando é claro que agora temos que cobrir todo o intervalo e não usamos mais soma e sim a integral dentro do intervalo:

${\displaystyle \int _{a}^{b}\phi _{m}(x)\phi _{n}(x)dx}$. /   / h ] / [  /  ] /c 

A ideia agora é escrever a função f(x) como uma combinação linear do conjunto ortonormal de funções, ou seja, ${\displaystyle f(x)=c_{1}\phi _{1}(x)+c_{2}\phi _{2}(x)+...+c_{n}\phi _{n}(x)}$ /   / h ] / [  /  ] /c 

lembrando que x precisa estar dentro do intervalo. Quando estávamos lidando com vetores podíamos descobrir os coeficientes da série, e com funções não será diferente, podemos usar a mesma ideia proposta quando estávamos trabalhando com vetores: obter o produto interno de ambos os lados envolvendo ${\displaystyle \phi _{n}(x)}$, obtendo desta forma o coeficiente ${\displaystyle c_{n}}$ através da definição de produto interno. Portanto:

${\displaystyle c_{n}=\int _{a}^{b}f(x)\phi _{n}(x)dx}$ /   / h ] / [  /  ] /c  (produto interno entre as funções)

Agora já estamos aptos a definir a série de Fourier generalizada através das funções ortogonais e do produto interno entre a função e o conjunto de funções ortogonais que define cada coeficiente da série:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\phi _{n}(x)\int _{a}^{b}f(\xi )\phi _{n}(\xi )d\xi }$. /   / h ] / [  /  ] /c 

Definição

Uma série trigonométrica é uma série da forma

${\displaystyle T(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cdot \cos \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)+b_{n}\cdot \operatorname {sen} \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)\right]}$ /   / h ] / [  /  ] /c 

Seja ${\displaystyle f}$ uma função periódica de período ${\displaystyle 2L}$, ou seja ${\displaystyle f(t+2L)=f(t)}$ para todo ${\displaystyle t}$, a qual satisfaz às seguintes condições, conhecidas como as condições de Dirichlet:

• A função é unívoca/injetora (de um para um), e contínua exceto em um número finito de descontinuidade ordinárias dentro do período 2L;
• A função tem um número finito de máximos e mínimos dentro do período 2L;
• A função é absolutamente integrável, ou seja, a integral ${\displaystyle \int _{0}^{2L}|f(t)|\,dt}$ /   / h ] / [  /  ] /c converge;

Então define-se a Série de Fourier da função ${\displaystyle f}$ como a série trigonométrica dada pelos coeficientes:

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{L}}\int _{c}^{c+2L}f(t)\,dt}$, ${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{L}}\int _{c}^{c+2L}f(t)\cos \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)\,dt}$, ${\displaystyle n\geq 1}$ e /   / h ] / [  /  ] /c  ,  /   / h ] / [  /  ] /c 

para n inteiro. Observamos aqui que, como ${\displaystyle f}$ periódica de período ${\displaystyle 2L}$, o intervalo de integração pode ser qualquer intervalo de comprimento ${\displaystyle 2L}$, sendo que geralmente são utilizados ${\displaystyle [0,2L]}$ ou ${\displaystyle [-L,L]}$.^[6]

Os coeficientes ${\displaystyle a_{n}}$, ${\displaystyle n\geq 0}$ e ${\displaystyle b_{n}}$, ${\displaystyle n\geq 1}$ são conhecidos como coeficientes de Fourier.

Forma Harmônica

Também podemos expressar a série de Fourier da função ${\displaystyle f(t)}$ com período ${\displaystyle T}$ como^[11]

${\displaystyle f(t)=A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cdot \cos(w_{n}t-\theta _{n})}$ /   / h ] / [  /  ] /c 

em que

${\displaystyle A_{0}={\frac {a_{0}}{2}}}$, ${\displaystyle A_{n}={\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}}$ para ${\displaystyle n\geq 1}$, ${\displaystyle \theta _{n}=\arctan({\frac {b_{n}}{a_{n}}})}$ e ${\displaystyle w_{n}={\frac {2n\pi }{T}}}$

/   / h ] / [  /  ] /c 

A igualdade entre a forma harmônica e a forma trigonométrica se dá por meio da identidade trigonométrica do cosseno da diferença:

${\displaystyle \cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\operatorname {sen}(a)\operatorname {sen}(b)\,}$ 

/   / h ] / [  /  ] /c 

Aplicando a identidade na forma harmônica, tem-se que:

${\displaystyle f(t)=A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }[A_{n}\cos(\theta _{n})\cos(w_{n}t)+A_{n}\sin(\theta _{n})\sin(w_{n}t)]}$ 

/   / h ] / [  /  ] /c 

Comparando os termos com os da representação trigonométrica, tem-se que:

${\displaystyle A_{0}={\frac {a_{0}}{2}},a_{n}=A_{n}\cos(\theta _{n})}$ e ${\displaystyle b_{n}=A_{n}\sin(\theta _{n})}$ 

/   / h ] / [  /  ] /c 

Forma complexa

Usando-se as expressões para as funções trigonométricas provenientes da fórmula de Euler: ${\displaystyle e^{ix}=cos(x)+isen(x)}$ /   / h ] / [  /  ] /c 

${\displaystyle \operatorname {sen} z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}=-i{\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2}}}$

${\displaystyle \cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}}$

Substituindo-as na forma harmônica da série de Fourier:

${\displaystyle f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}{\frac {e^{iw_{n}t}+e^{-iw_{n}t}}{2}}-ib_{n}{\frac {e^{iw_{n}t}-e^{-iw_{n}t}}{2}}\right]}$

em que

${\displaystyle w_{n}={\frac {n\pi }{L}}}$ /   / h ] / [  /  ] /c 

${\displaystyle f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {a_{n}-ib_{n}}{2}}e^{iw_{n}t}+{\frac {a_{n}+ib_{n}}{2}}e^{-iw_{n}t}\right]}$/   / h ] / [  /  ] /c 

Considerando a paridade das funções cosseno (par) e seno (ímpar) é possível notar que

${\displaystyle a_{-n}=a_{n}}$

${\displaystyle b_{-n}=-b_{n}}$ e ${\displaystyle b_{0}=0}$

em que foi usado

${\displaystyle cos(-x)=cos(x)}$ e ${\displaystyle sen(-x)=-sen(x)}$

${\displaystyle w_{-n}={\frac {(-n)\pi }{L}}=-w_{n}}$/   / h ] / [  /  ] /c 

Como notação é tomado: ${\displaystyle c_{n}={\frac {a_{n}-ib_{n}}{2}}}$ , tal que ${\displaystyle c_{0}={\frac {a_{0}-ib_{0}}{2}}={\frac {a_{0}}{2}}}$ dado por

${\displaystyle c_{0}={\frac {1}{2L}}\int _{-L}^{L}f(t)\,dt}$ /   / h ] / [  /  ] /c 

Para calcular os coeficientes com índices diferentes de zero utilizamos a fórmula de Euler:

${\displaystyle {\frac {1}{2L}}\int _{-L}^{L}f(t)\,(cos(w_{n}t)-isen(w_{n}t))dt}$ /   / h ] / [  /  ] /c 

Logo,

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2L}}\int _{-L}^{L}f(t)\,e^{-iw_{n}t}dt}$ /   / h ] / [  /  ] /c 

Para a expressão da função obtemos

${\displaystyle f(t)=c_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\,e^{iw_{n}t}+\sum _{n=1}^{\infty }c_{-n}\,e^{-iw_{n}t}}$ /   / h ] / [  /  ] /c 

que pode ser simplificada em

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\,e^{iw_{n}t}}$ /   / h ] / [  /  ] /c